행렬은 뭔가요?

From BoostCourse 임성빈

수학기호 쓰려고 LaTex까지 배워왔다.

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1. 행렬은 벡터를 원소로 가지는 2차원 배열이다.

 

2. 벡터가 공간에서 한 점을 의미한다면 행렬은 여러 점들을 나타낸다.

 

3. 행렬은 벡터 공간에서 사용되는 연산자로 이해할 수 있다.

>> $z = Ax$ (벡터 $x$ $\rightarrow$ 벡터 $z$)

>> 행렬곱을 통해 벡터를 다른 공간으로 보낼 수 있다.

>> 행렬곱을 통해 패턴을 추출하거나 데이터를 압축할 수 있다.

 

4. 행렬식이 0이 아니고 $n=m$인 경우 역행렬이 존재한다.

>> $AA^{-1} = A^{-1}A = I$

np.linalg.inv(x)

 

5. 역행렬을 계산할 수 없다면 유사역행렬(pseudo-inverse) 또는 무어-펜로즈(Moore-Penrose) 역행렬 $A^+$을 이용할 수 있다.

$ n \ge m$인 경우 $A^+ = (A^TA)^{-1}A^T$

$ n \le m$인 경우 $A^+ = A^T(AA^T)^{-1}$

np.linalg.pinv(y)

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응용 1: 연립방정식 풀기

$Ax = b$

$x = A^+b$

 

응용2: 선형회귀분석

$X\beta = \hat{y} \approx y$

$\beta = X^+y$

$\Rightarrow$ 벡터 $y$의 $L_2$ 노름을 최소화하는 $\beta$를 찾게 된다.

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# 참고

np.inner은 $i$번째 행벡터와 $j$번째 행벡터 사이의 내적을 성분으로 가지는 행렬을 계산한다.

x = np.array([[1, -2, 3],
              [7, 5, 0],
              [-2, -1, 2]])

y = np.array([[0, 1, -1],
              [1, -1, 0]])

np.inner(x, y)

array([[-5,  3],
       [ 5,  2],
       [-3, -1]])